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本問は、問題の図を見てみると、正多角形内部における角度の問題であることがわかります。
原則として、正多角形における角度の問題は、一般的に以下のものの利用が挙げられます。
・正多角形の内角を総和から算出
・内角＋外角＝180°であること
・外角の総和が360°であること
・外角定理
これ以外に、正多角形の場合、外接円を利用することで、「中心と円周上の点もしくは正多角形の頂点を結ぶ」というオーソドックスな方法から、二等辺三角形を発見し、同じ角度を利用するということが考えられます。
しかし、本問においては、「中心と円周上の点もしくは正多角形の頂点を結ぶ」と補助線が入り組んでしまいます。また、正七角形で内角と外角のそれぞれの角度が分数となることもあり、円周角の利用を検討することにいたしました。
円周角が中心角の1/2であることは、「円の中心と円周上の点を結ぶことにより」簡単に証明できますし、能力のあるお子様ならその場で導きだすことも可能でしょう。
以上により、該当する円周角に対応する中心角がいくつ分かを算出すると、ほぼ自動的に解答が算出されることとなります。
円周角定理の根本が「中心と円周上の点もしくは正多角形の頂点を結ぶ」であることのため、本質は何もかわらないともいえるでしょう。
